اختبار مربع كاي
الاختبار المعياري لسؤال «هالـ37 عدد، هي اللي تطلّعها عجلة نزيهة؟»
χ² = Σ (المرصود − المتوقع)² / المتوقع على كل الـ37 خانة. قارنه ويّا توزيع مربع كاي بـ36 درجة حرية حتى تطلّع قيمة p.
طريقة الحساب
العدد المتوقع لكل خانةالمعداتالخانةوحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. يسمّوها هم: الفتحة، الكأس.اقرأ النص كله ← هو n/37. لكل خانة، ربّع الفرق بين المرصود والمتوقع واقسمه على المتوقع؛ واجمع الـ37 حدّ. العجلة النزيهة تنطي قيم حوالين 36 بالمعدل (عدد درجات الحريةالمختبردرجات الحريةعدد القيم المستقلة بأي إحصاء. باختبار مربع كاي على 37 خانة يساوي 36، لأن مجموع الأعداد لازم يساوي الإجمالي.اقرأ النص كله ←)، ويّا انحراف معياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرأ النص كله ← بحدود 8.5. فوق 51.0 دالّ عند مستوى 5%؛ وفوق 58.6 عند 1%. ومحلّل انحياز العجلة يحسب الإحصاء وقيمة pالمختبرقيمة pاحتمال إنك تشوف انحراف حجمه على الأقل مثل اللي شفته لو كانت العجلة نزيهة.اقرأ النص كله ← الدقيقة من دالة غاما الناقصة المنظَّمة.
مثال محلول
1,000 دورة. ست وثلاثين خانة تطلع بين 20 و34 مرة؛ أما الخانة 8 فطلعت 41 مرة. المتوقع 27.03. حدّ الخانة 8 وحده يساوي (41 − 27.03)²/27.03 = 7.2. خلّي نفترض إن مجموع الـ36 حدّ الباقية 38 (وهذا معتاد). χ² = 45.2 عند 36 درجة حرية، وp ≈ 0.14. النتيجة مو دالّة: العجلة النزيهة تسوّي هيج مرة وحدة من كل سبع. الخانة 8 مرشّحة، مو اكتشاف، والجواب ألف دورة ثانية.
الافتراضات
دورات مستقلةرياضياتالدورات المستقلةكل دورة إلها نفس الاحتمالات شما كان اللي قبلها. وهذا أساس كل حساب بهالموقع.اقرأ النص كله ←، وأعداد متوقعة على الأقل 5 لكل خانة، يعني n ≥ 185 حتى يكون الاختبار صالح أصلًا، وهواية أكثر حتى يكون مفيد. إذا جمعت دورات من عجلات مختلفة تخالف الفرضية الأولى بروحها (إنت دتختبر خليط، مو عجلة). وتأثير بصمة الموزّع يخالفها فعليًا، ويكبّر χ² بدون ما تكون أي خانة مفضّلة فيزيائيًا.
بيرسون ومونت كارلو
كارل بيرسون نشر الاختبار سنة 1900، وواحد من أول أمثلته المحلولة كان 26,306 دورة روليت مسجّلة بمونت كارلو، طلعت عنده مو منتظمة لدرجة ما تكون صدفة، وأعلن إن «روليت مونت كارلو… مو لعبة حظ». وبعدين كتّاب ثانيين استنتجوا إن الصحفيين اللي سجّلوا الدورات لجريدة كانوا مألّفين هواية منها، وهذا بحد ذاته درس عن مصدر البيانات.
بيرسون ينشر اختبار مربع كاي لجودة المطابقة، ويستخدم دورات مونت كارلو كمثال.
يشكّكون ببيانات الدورات؛ يبيّن إن المسجّلين ألّفوا سلاسل منها.
فيشر يحط تعريف رسمي لدرجات الحرية؛ وعُرف الـ5% يترسّخ.
الإحصائيين يستخدمون دورات الروليت كبيانات نموذجية بالكتب الدراسية لاختبارات الانتظام.
عائلة غارسيا بيلايو تطبّق الطريقة على بيانات مسجّلة حقيقية وتربح بمدريد.
الكازينوهات تسوّي نفس الاختبار على عجلاتها كجزء من الصيانة الروتينية.
اختبار حقيقي: العجلات الأوتوماتيكية بلاس فيغاس
اللاعبين هواية مرات يشكّون إن العجلة الأوتوماتيكية تبعّد الكرةالمعداتالكرةالكرة الزغيّرة اللي تنطلق بالمسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، وقطرها 18–21 مم.اقرأ النص كله ← عن الرهانات الكبيرة. تحليل سنة 2017 حط هالشك على الاختبار، على عجلات Interblock بـالصفرينالعجلةالصفرالخانة الخضرة الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. يسمّوه هم: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← بدون موزّع بلاس فيغاس، بالرهان على قوس من خمس أرقام متجاورة، نفس نوع الرهان اللي يسوّيه مراقب العجلة. بـ299 دورة القوس ربح 29 مرة مقابل 39.3 متوقعة، نقص تطلّعه العجلة النزيهة بحدود 4% من المرات. ومربع كاي على كل الـ38 خانة كان 45.29 عند 37 درجة حرية: p = 16.5%. وعينة ثانية من 1,204 دورة على ثلاث عجلات طلّعت χ² = 34.79، p = 57%، وماكو أي قوس من أي حجم انجرّب طلع دالّ. والعينتين سوا، 1,503 دورة، طلّعت χ² = 41.75، p = 27%. الحكم: ماكو دليل على التوجيه. العينة الأولى وحدها كانت تبيّن مشكوك بيها؛ والثانية هي اللي حسمت الموضوع.
شنو بعد مربع كاي
لخانة وحدة مشكوك بيها، الاختبار ذو الحدّين أقوى. ولقوس مشكوك بيه، اختبار z لـالقطاعالعجلةالقطاعقوس متصل من الخانات على العجلة، مو مجموعة على لوحة الرهان.اقرأ النص كله ← بصفحة تحليل القطاعات. مربع كاي هو الاختبار الشامل: يقول لك إن أكو شي مو مضبوط بدون ما يقول شنو. استخدمه أول، وبعدين دوّر.
الصيغة
أسئلة
الـ37 عدد لازم مجموعهم يساوي n، فبس 36 منهم أحرار يتغيّرون.
عجلة بيها خانة وحدة بمعدل 1/25 بـ10,000 دورة تنطي حدّ لهالخانة بحدود 60 وحده؛ وχ² بحدود 100، وp عمليًا صفر.
تقنيًا إي، ويّا 5.4 متوقع لكل خانة. بس ما راح يكشف ولا شي إلا إذا عجلة بيها خانة ملزوكة ومسدودة.
استراحة فكاهية
اجمع مربعات المفاجآت. وقارن ويّا 51.0.
المصادر
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”