مسألة: عجلة أعياد الميلاد
كم دورة لازم قبل ما فد رقم يتكرر؟ أقل بهواية من اللي يخمّنه أغلب الناس.
مسألة عيد الميلاد على عجلة بيها 37 خانةالمعداتالخانةوحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. يسمّوها هم: الفتحة، الكأس.اقرأ النص كله ←: بعد 8 دورات بس، احتمال إن فد رقم طلع مرتين يصير أعلى من النص. اللاعبين يقرون التكرار على إنه نمط؛ بس هو السلوك المتوقع لعجلة نزيهة.
المسألة
دوّر عجلة أوروبية نزيهة. كم دورة لازم لحد ما احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← إن دورتين على الأقل طلّعن نفس الرقم يعبر النص؟ أغلب اللاعبين يخمّنون رقم بحدود 18 لو 19، يعني نص 37. والجواب 8.
الحل
احسب احتمال إنه ماكو تكرار واطرحه من الواحد. بعد k دورة، p(كلها مختلفة) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). لمّن k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، فـp(أكو تكرار) ≈ 0.56. ولمّن k = 14 يصير 0.93؛ ولمّن k = 20 يصير 0.996. الحدس يغلط لأن عدد أزواج الدورات يكبر مثل k²، وأي زوج منها ممكن يتطابق.
ليش هالشي مهم على الطاولة
لوحة نتائج تعرض آخر 20 رقم تقريبًا دائمًا راح تبيّن تكرار واحد على الأقل، وهواية مرات اثنين لو ثلاثة. اللاعبين يشوفون «17 طلع مرتين بعشر دورات» ويستنتجون إن 17 رقم ساخن؛ بس حساب عيد الميلاد يقول التكرار خلال عشر دورات يصير بـ74% من الحالات والرقم المتكرر عشوائي. النمط حقيقي؛ بس المعنى لا.
مسألة المتابعة
كم دورة لازم لحد ما رقم معيّن، خلّي نقول 17، يطلع مرتين؟ هذا سؤال ثاني وجوابه أكبر بهواية: الانتظار المتوقع 74 دورة، واحتمال إن 17 يطلع مرتين خلال 20 دورة تقريبًا 10%. والفرق بين «فد رقم يتكرر» (8 دورات) و«هالرقم يتكرر» (74 دورة) هو كل الفرق بين نمط تلاحظه بعد ما يصير وتنبؤ تقوله من قبل.
جرّبها
شغّل اللعبة التجريبية عشر دورات وشوف السجل. عادةً راح يكون أكو تكرار. شغّلها مرة ثانية. الرقم المتكرر راح يكون غير. سوّيها عشر مرات وتكون شفت مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادكم شخص تحتاج لحد ما يصير الأرجح إن اثنين منهم عيد ميلادهم بنفس اليوم، أو كم دورة لحد ما يصير الأرجح إن رقم يتكرر. على عجلة بيها 37 خانة، 8 دورات تكفي حتى يصير الاحتمال أكبر من النص.اقرأ النص كله ←؛ وسوّيها ألف مرة (المحاكيات تكدر) وتكون قستها.
الصيغة
أسئلة
بالضبط، بس بـ37 خانة بدال 365 يوم. 23 شخص ينطون 50% بأعياد الميلاد؛ و8 دورات تنطي 56% بالعجلة.
50% بعد تقريبًا 19 دورة. بعده شي عادي.
لا. آلاف الدورات من عجلة وحدة ممكن تدل عليه؛ بس التكرار أبد ما يدل عليه.
ونسة ويّا الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك أول شي. كل حل مطوي؛ افتحه لمّن تكون جاهز.
لوحة النتائج اللي يمّ عجلة أمريكية تعرض آخر 16 دورة. شكد احتمال إن ولا رقم يطلع عليها مرتين؟
طلّع الحل
الجواب تقريبًا 2.5%: تقريبًا 39 لوحة من كل 40 بيها تكرار واحد على الأقل.
امشي دورة دورة. أول دورة ممكن تكون أي شي. الثانية لازم ما تصيبه: 37 فرصة من 38. الثالثة لازم ما تصيب الثنين: 36 من 38. والسادسة عشر لازم ما تصيب خمسطعش رقم: 23 من 38.
اضرب: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
اللوحة اللي ماكو بيها تكرار هي النادرة. واللوحة اللي بيها تكرار ما تقول ولا شي عن العجلة.
بعشر دورات على عجلة أوروبية، شكد احتمال إن الـ17 يطلع خمس مرات بالضبط؟ وإن فد رقم، أي رقم، يطلع خمس مرات أو أكثر؟ وإن فد رقم يطلع ثلاث مرات على الأقل بأربع دورات؟
طلّع الحل
الجواب الـ17 خمس مرات بالضبط: 1 من 315,576. فد رقم خمس مرات أو أكثر: تقريبًا 1 من 8,333. فد رقم ثلاث مرات أو أكثر بأربع دورات: 1 من 349.
الـ17 خمس مرات: اختار يا خمس دورات من العشرة، 252 طريقة، وكل وحدة احتمالها (1/37)⁵ × (36/37)⁵. سوية، 1 من 315,576.
فد رقم: كل رقم من الـ37 احتماله 1 من 308,325 حتى ياخذ خمس إصابات أو أكثر، وهذا ينطي 37 من 308,325، يعني 1 من 8,333. الحالة النادرة اللي بيها رقمين كل واحد خمس إصابات تنحسب مرتين، بس إذا شلتها ما يتغيّر شي بهالدقة.
ثلاث مرات بأربع دورات: لرقم واحد، 4 × 36 + 1 = 145 من الـ37⁴ نتيجة ممكنة؛ ولأي رقم من الـ37، 145/37³ = 1 من 349.
ولعجلة بـصفرالعجلةالصفرالخانة الخضرة الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. يسمّوه هم: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← مزدوج، الأرقام المقابلة هي 1 من 359,275 و1 من 9,243 و1 من 368. والفرق بين «17» و«فد رقم» هو مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادكم شخص تحتاج لحد ما يصير الأرجح إن اثنين منهم عيد ميلادهم بنفس اليوم، أو كم دورة لحد ما يصير الأرجح إن رقم يتكرر. على عجلة بيها 37 خانة، 8 دورات تكفي حتى يصير الاحتمال أكبر من النص.اقرأ النص كله ← مرة ثانية: أكو 37 طريقة حتى تتفاجأ.
استراحة فكاهية
فد شي يتكرر بوقت مبكر. وهذا الشي عشوائي.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”، أسئلة عن الروليت.