خطر الإفلاس
احتمال إنك تخسر رأس مال اللعب كله قبل ما توصل للهدف.
برهانات الدفع المتساوي، خطر الإفلاس يمشي على صيغة إفلاس المقامر. برأس مال $500، ورهانات $10، وهدف $600، توصل للهدف بحدود 57% من الحالات وتفلس بالباقي.
السؤال
عندك a من الوحداتالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل بيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكلي اللي تخصصه للعب. وإدارة رأس المال يعني تقرر شكد منه تخاطر بيه بكل رهان وبكل جلسة.اقرأ النص كله ← وتريد توصل لـa + b وحدة، وإنت تراهن بوحدة وحدة كل مرة على رهان الدفع المتساويرهانرهان الدفع المتساويأحمر/أسود، فردي/زوجي، عالٍ/منخفض. 18 رقم، ويدفع 1:1.اقرأ النص كله ← باحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← ربح p = 18/37 واحتمال خسارة q = 19/37. شنو احتمال إنك توصل للهدف قبل ما توصل للصفر؟ الجواب طلّعوه باسكال وفيرما وهويغنز بخمسينيات القرن الـ17، وهو من أقدم النتائج بعلم الاحتمالات.
صيغة إفلاس المقامر
P(الوصول للهدف) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). وخطر الإفلاسرياضياتخطر الإفلاساحتمال إنك تخسر رأس مال اللعب كله قبل ما توصل لهدف أو لعدد معيّن من الدورات.اقرأ النص كله ← هو واحد ناقص هذا. وويّا q/p = 19/18 ≈ 1.0556 النسبة تكبر بشكل أُسّي ويّا عدد الوحدات، فالصيغة تعاقب الوحدات الصغيرة كلش: كل ما يحتاج الوصول للهدف رهانات أكثر، كل ما تدفع ضريبة الـ2.70% مرات أكثر بالطريق.
قراءة النتائج
الوحدات الأصغر تضر. إذا تحاول تضاعف $500 برهانات $10 تنجح بـ6% من الحالات؛ وبرهان واحد $500 تنجح بـ48.6% من الحالات. اللعب الجريء، يعني رهانات أقل وأكبر، يرفع لأقصى حد احتمال إنك توصل للهدف بلعبة قيمتها المتوقعة سالبة، لأنه ينزّل لأدنى حد عدد المرات اللي تنطبق بيها الميزة. بس هو هم يرفع لأقصى حد تباينرياضياتالتباينمقياس لشكد النتائج منتشرة حوالين القيمة المتوقعة. عالي برهان الرقم الواحد، وواطي برهانات الدفع المتساوي.اقرأ النص كله ← اللي يصير بيك، ويخلّص السهرة بسرعة. هالمبرهنة اسمها «اللعب الجريء هو الأمثل»، وبرهنوها دوبينز وسافيدج سنة 1965.
منين بدت المسألة
السؤال أقدم من الروليت. بـ1656 باسكال طرح على فيرما لغز: لاعبين يذبّون ثلاث زارات، وكل واحد يبدي بـ12 قطعة عدّ؛ إذا طلع مجموع 11 تنتقل قطعة لجهة، وإذا طلع 14 تنتقل للجهة الثانية. الاثنين حلّوه، وهويغنز، اللي سمع بيه من رسالة من عالم الرياضيات بيير دو كاركافي (Pierre de Carcavi)، نشره سنة 1657 كمسألة خامسة بأول كتاب عن الاحتمالات، ويّا الجواب وبدون برهان. الأحد عشر يطلع بـ27 طريقة والأربعطعش بس بـ15، فكل قطعة تتحرك لجهة اللاعب الأول 9 مرات من 14، والصيغة اللي فوق، ويّا 12 قطعة لكل واحد، تخلّي احتمال إنه يربح كلشي بحدود 1,157 ضعف احتمال إنه يخسر كلشي. وميزة 2.70% أصغر بهواية، بس نفس الصيغة تبيّن شنو تسوّي على هواية رهانات.
رهان جريء حقيقي
بنيسان 2004 آشلي ريفيل (Ashley Revell)، شاب إنجليزي، باع تقريبًا كلشي عنده، حتى هدومه، وأخذ $135,300 لكازينو Plaza بلاس فيغاس. وبعد كم رهان صغير حط المبلغ كله على الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمرة الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ←، مرة وحدة. والكرةالمعداتالكرةالكرة الزغيّرة اللي تنطلق بالمسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، وقطرها 18–21 مم.اقرأ النص كله ← وقفت على 7 الأحمر، وطلع ويّاه $270,600. على عجلة بـصفرالعجلةالصفرالخانة الخضرة الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. يسمّوه هم: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← مزدوج، هالدورة الوحدة كان احتمالها 47.37%، وكلّفته بالمعدل $7,121، يعني ميزة الـ5.26% على رهان واحد. ولو توزّع نفس الهدف على رهانات $10 كان تقريبًا ماكو أمل. اللعب الجريء ما يخلّي الرهان زين؛ بس يخلّيه أقصر ما يمكن.
خطر الإفلاس دون هدف
إذا إنت بس تلعب لحد ما تفلس أو توقف بعد N دورة، يصير السؤال «شنو احتمال إن رأس مالي يوصل للصفر خلال N دورة؟». ماكو صيغة مغلقة لأي N، بس المحاكيات بهذا الموقع تحسبه: رأس مال $500 برهانات $10 على الأحمر تقريبًا أبد ما يفلس بـ100 دورة (أقل من 1%)، ويفلس بحدود 9% من الحالات بـ500 دورة، وبحدود 95% من الحالات بـ5,000. وبدون قاعدة توقف الاحتمال يروح باتجاه 100%، وهاي هي صورة ميزة الكازينورياضياتميزة الكازينوالحصة من كل مبلغ رهان اللي ياخذها الكازينو بالمعدل: 2.70% بالروليت الأوروبي.اقرأ النص كله ← على المدى الطويل.
- p10 −$500
- p25 −$500
- الوسيط −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
شكد يدوم رأس المال، ولوين يكدر يتقدّم
أكو نتيجتين كلاسيكيتين ثانيات يجاوبن على أسئلة اللاعبين يسألوها فعلًا. بدون هدف، رهانات الدفع المتساوي الثابتة تدوم بالمعدل 37 دورة لكل وحدة من رأس مال اللعب على العجلة الأوروبية و19 على الأمريكية، لأن كل دورة تاخذ 1/37 من الوحدة بالمعدل (1/19 على العجلة الأمريكية): 100 وحدة تدوم 3,700 دورة بالمعدل، مع إن نص هالجلسات تخلص خلال 3,134 (شوف مدة الجلسة وكلفتها). وشكد ما يكبر رأس المال، احتمال إنك بيوم من الأيام تصير متقدّم بـk وحدة على العجلة الأوروبية هو (18/19)ᵏ. يعني 95% لوحدة وحدة و58% لعشر وحدات، بس ماكو رأس مال، شكد ما يكون كبير، ينطيك احتمال النص إنك بيوم تصير متقدّم 13 وحدة؛ وعلى العجلة الأمريكية الاحتمال (9/10)ᵏ وينزل تحت النص عند 7 وحدات.
رأس المال اللي تحتاجه لاحتمال النص بالنص
اقلب السؤال: شكد لازم تجيب ويّاك حتى يكون عندك احتمال مو أقل من النص إنك تربح مبلغ معيّن قبل ما تخسر كلشي؟ لربح صغير، مو هواية. أما لربح أكبر، رأس المال اللي تحتاجه يصعد بسرعة، وبعد حد معيّن ماكو رأس مال يكفي، لأن حتى رأس مال ما يخلص ينطيك احتمال أقل من النص إنك بيوم توصل لهالتقدّم. وتايلور (2021) يقولها بطريقة ثانية: على العجلة الأمريكية، حتى يكون عندك احتمال النص توصل لـ100 وحدة لازم تبدي بـ94، يعني تخاطر بـ94 حتى تربح 6. وعلى العجلة الأوروبية تحتاج 88.
الدرس العملي
قرّر شنو دتحاول تسوّي. إذا الهدف ربح معيّن، راهن كبير وقليل. وإذا الهدف سهرة طويلة، راهن صغير واقبل إن الميزة راح تاخذ 2.70% من إجمالي مراهناتالمالإجمالي المراهناتالمبلغ الكلي اللي تراهن بيه خلال جلسة أو فترة، ويّا الأرباح اللي رجعت تنراهن. يسمّوه هم: handle، action.اقرأ النص كله ← كبير. وإذا الهدف الاثنين، لازم تتنازل عن شي، وعادةً يكون الهدف.
الصيغة
أسئلة
نظام مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية حتى تعرف شنو يسوّي وشنو ما يسوّي.اقرأ النص كله ← ينزّله بالجلسات القصيرة ويصعّده هواية بالطويلة. والرهان الثابتاستراتيجيةالرهان الثابتتراهن بنفس المبلغ كل دورة. هذا الأساس اللي ينقارن بيه كل تدرّج.اقرأ النص كله ← بوحدة أكبر هو الطريقة الصادقة حتى تنزّله.
الصيغة اللي فوق للدفع المتساوي. بالرهانات اللي تباينها عالي، الإفلاس أرجح بمبالغ الرهان الصغيرة، والوصول للهدف يصير بقفزات؛ استخدم الحاسبة.
كل خطوة باتجاه الهدف احتمالها أقل بشوية من كل خطوة باتجاه الإفلاس؛ والنسبة تتراكم على عدد الخطوات.
ونسة ويّا الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك أول شي. كل حل مطوي؛ افتحه لمّن تكون جاهز.
عندك $100 وتريد توصل $1,000، وتراهن بس على الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمرة الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ←. الخطة الأولى: تراهن بـ$1 كل مرة. الخطة الثانية: تراهن بكل اللي عندك لحد ما تعدّي $500، وبعدين بس بالمبلغ اللي يكفي حتى توصل $1,000. يا خطة أحسن، وبشكد؟
طلّع الحل
الجواب الخطة الثانية، وبفرق كبير. توصل $1,000 بتقريبًا 9.0% من المرات، قريب من نسبة الـ10% العادلة. أما الخطة الأولى فتنجح تقريبًا 7 مرات من 10²².
بـلعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة ماكو بيها طرف عنده ميزة: القيمة المتوقعة لكل رهان صفر.اقرأ النص كله ← راح توصل $1,000 من $100 مرة من كل عشرة شنو ما سوّيت، لأن متوسط قيمة فلوسك يبقى $100.
ميزة الكازينو تاخذ 2.70% من كل رهان، فكل ما قلّ مجموع اللي تراهن بي، تبقى أقرب لمرة من كل عشرة. الخطة الثانية تحسم القصة ببضع رهانات: $100 تصير $200، وبعدين $400، وبعدين $800، وبعدها يكفي رهان $200. وتنجح بتقريبًا 9.0% من المرات. أما الخطة الأولى فتاخذ آلاف الرهانات قبل ما يخلص المشوار، والميزة، الصغيرة بكل رهان، تتجمّع لحد ما يصير الإفلاس شبه أكيد.
هاي نتيجة دوبنز وسافيج بأبسط شكل (إبستين، 2013): بلعبة مايلة لصالح الكازينو، راهن بقدر ما تحتاج، وبأقل عدد مرات تكدر عليه.
عندك $500 وتريد $1,000، وتوقف أول ما توصلها. تختار نوع واحد من الرهانات وتعيده لحد ما يربح مرة وحدة أو تخلص الفلوس. يا نوع ينطيك أحسن احتمال؟
طلّع الحل
الجواب رهان واحد بـ$500 على الأحمر: 48.6%. وكل خطة توزّع الفلوس على رهانات أصغر تطلع أسوأ.
اختار كل مبلغ رهان بحيث ربح واحد يكفي: $30 على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد بس، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ← تربح $1,050، و$60 على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين يم بعض، ويدفع 17:1.اقرأ النص كله ← تربح $1,020، وهيج. بعدين احسب احتمال إن رهان واحد على الأقل يربح قبل ما تخلص الفلوس. ستطعش رهان على الرقم الواحد بـ$30 كلها تخطي باحتمال (36/37)¹⁶ = 64.5%، فتوصل $1,000 بـ35.5% من المرات.
الجدول يبيّن كل رهان. الأحمر هو الأحسن لأنه يوصل برهان واحد، فالميزة تندفع مرة وحدة، على $500. ورهان الصفينرهانرهان الصفينست أرقام بصفّين يم بعض، ويدفع 5:1. بالفرنسي: sixain.اقرأ النص كله ← يجي ثاني لأنه يحتاج بس ثلاث رهانات. ورهان الدزينةرهانالدزينة1–12 لو 13–24 لو 25–36، ويدفع 2:1.اقرأ النص كله ← الواحد هو الأسوأ، فرصته 12/37؛ وحتى لو لعبته بـوحداتالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل بيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← كل وحدة $250 لحد ما توصل $1,000 أو أكثر، الدزينة ما توصل إلا بـ46.4% من المرات.
وبولمان (2024) يبني نفس الجدول للعجلة الأمريكية. وبصف الدزينة عنده غلطة: لازم يكون 12/38 = 31.6%.
رهانمبلغ الرهان × عدد الرهاناتاحتمال توصل $1,000رهان الرقم الواحد$30 × 1635.5%رهان الرقمين$60 × 835.9%رهان الصف$90 × 534.5%رهان الزاوية$125 × 436.7%رهان الصفين$166, $166, $16841.2%الدزينة$500 × 132.4%أحمر$500 × 148.6%تراهن بوحدة وحدة على الأحمر، دورة ورا دورة، ورأس مالكالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكلي اللي تخصصه للعب. وإدارة رأس المال يعني تقرر شكد منه تخاطر بيه بكل رهان وبكل جلسة.اقرأ النص كله ← ما يخلص أبد. بعد الدورة الأولى تكون رابح وحدة أو خسران وحدة. شنو احتمال إنك فد يوم ترجع متعادل بالضبط؟
طلّع الحل
الجواب 36 من 37، يعني 97.3%. وعلى العجلة الأمريكية 36 من 38، يعني 94.7%.
إذا ربحت الدورة الأولى (18 مرة من 37) تكون رابح وحدة، والميزة تسحب كل جلسة ما إلها نهاية لجوّة، فعاجلًا أو آجلًا راح ترجع تمر بالتعادل: هذا أكيد. وإذا خسرت (19 مرة من 37)، لازم تصعد وحدة وحدة، واحتمال إنك فد يوم تصير رابح وحدة هو 18/19 (شوف الجدول فوق).
سوة: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
وبشكل عام الاحتمال يساوي 1 ناقص الفرق بين احتمال تربح الدورة واحتمال تخسرها: 1 − 1/37 على العجلة الأوروبية، و1 − 2/38 على الأمريكية. وبلعبة بدون صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرة الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. يسمّوه هم: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← الفرق ولا شي والاحتمال 1: الحصيلة دائمًا ترجع للتعادل. وإبستين (2013) ينطي القاعدة العامة.
لغز باسكال سنة 1656: لاعبين اثنين يذبّون ثلاث زارات، وكل واحد يبدي بـ12 قطعة عدّ. كل 11 تنقل قطعة للاعب الأول، وكل 14 تنقل قطعة للثاني؛ والرميات الباقية ما تنحسب. شنو احتمال إن اللاعب الأول ياخذ القطع الـ24 كلها؟ ولو بدال هذا تحط 1 وحدة على الأحمر بكل دورة قدّام صديقك اللي يلعب دور البنك، ولكل واحد منكم 12 وحدة، شنو احتمال إنك تاخذ الوحدات الـ24 كلها؟
طلّع الحل
الجواب اللاعب الأول يفوز تقريبًا 1,157 مرة من 1,158. أما إنت، على الأحمر، فتاخذ الوحدات الـ24 كلها بس بتقريبًا 34% من الحالات.
ثلاث زارات تنطي 11 بـ27 طريقة و14 بـ15 طريقة، فكل قطعة تتحرك تروح للاعب الأول 27 مرة من 42، يعني 9 مرات من 14. ولمّن كل طرف يبدي بـ12، احتمال تاخذ كلشي هو 1/(1 + r¹²)، وr هي نسبة احتمال الطرف الثاني لاحتمالك.
للاعب الأول r = 5/9، و(5/9)¹² ≈ 0.00086، فالاحتمال تقريبًا 0.99914: يعني نسبة 9¹² إلى 5¹²، أو 282,429,536,481 إلى 244,140,625، تقريبًا 1,157 مقابل 1. وهويغنز نشر هالأعداد بالضبط سنة 1657.
على الأحمر r = 19/18 بسبب الصفر، و(19/18)¹² ≈ 1.913: فاحتمالك 1/2.913 ≈ 34.3%. العملة كانت تنطي 50%. وميزة الـ2.70% بكل رهان تتجمّع، على طول الرهانات الهواية اللي تحتاجها، وتصير فجوة 16 نقطة.
استراحة فكاهية
اللعب الجريء هو الأمثل. وهو هم يخلص بسرعة.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”