التقارب على المدى الطويل: قانون الأعداد الكبيرة في الروليت
شلون المتوسط يستقر باتجاه −2.70%، وليش هالشي ياخذ وقت أطول من اللي يوحي بيه الحدس.
متوسط الخسارة بالدورة يتقارب باتجاه −1/37 كلما تتراكم الدورات، بتشتت يصغر مثل 1/√N. بعد 1,000 دورة على الأحمر المتوسط عادةً يكون ضمن ±3% من قيمته المتوقعة.
قانون الأعداد الكبيرة
المتوسط الجاري لرهانات مستقلة يروح باتجاه القيمة المتوقعةرياضياتالقيمة المتوقعةشكد تطلع النتيجة بالمعدل لكل رهان على المدى الطويل. −1/37 من مبلغ الرهان لكل رهان أوروبي قياسي.اقرأ النص كله ←. بعد N دورة على الدفع المتساوي برهان وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل بيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← واحدة، متوسط النتيجة بالدورة قيمته المتوقعة −1/37 وانحرافه المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرأ النص كله ← 1/√N. لمّن N = 100 هالتشتت يوصل 10% من مبلغ الرهان، يعني تقريبًا أربع أضعاف الإشارة اللي هي 2.7%. ولمّن N = 1,000 يصير 3.2%، تقريبًا بحجم الإشارة نفسها. ولمّن N = 10,000 يصير 1%، والميزة تبين بوضوح. الميزة ما تبين بجلسة وحدة، وبسنة كاملة ما تكدر تغلط بيها.
شنو يتقارب وشنو ما يتقارب
المتوسط بالدورة يتقارب. بس المجموع لا: يبتعد عن الصفر أكثر وأكثر كلما يكبر N، بحدود 2.7% من N بالمعدل المتوقع، وبتشتت √N حوالين هالرقم. اللاعب اللي لعب 10,000 دورة برهان $10 المتوقع يكون خسران $2,700، زايد ناقص $1,000. النسبة الجارية للأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمرة الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← من زمان استقرت قريب 48.65%؛ بس الرصيد الجاري ما استقر بأي مكان.
- p10 −$440
- p25 −$280
- الوسيط −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
ليش الحدس يغلط
الناس يتوقعون الميزة تبين بسرعة لأن 2.70% تبين نسبة كبيرة، ويتوقعون السلاسل الطويلة «تتعادل» لأن قانون الأعداد الكبيرةرياضياتقانون الأعداد الكبيرةمتوسط النتائج المستقلة يقرب من القيمة المتوقعة كل ما زاد عدد التجارب.اقرأ النص كله ← يقول المتوسطات تتقارب. الحدسين الثنين يغلطون بالمقياس: الميزة صغيرة مقارنةً بتباينرياضياتالتباينمقياس لشكد النتائج منتشرة حوالين القيمة المتوقعة. عالي برهان الرقم الواحد، وواطي برهانات الدفع المتساوي.اقرأ النص كله ← الدورة الوحدة (σ = 1 وحدة مقابل EV = 0.027)، فتحتاج (1/0.027)² ≈ 1,400 دورة حتى تبين بمقدار سيغما وحدة. وتقارب المتوسط ما يسوّي ولا شي حتى يرجّع المجموع لورا؛ بس يخفف التذبذبات اللي فاتت.
التقارب في الرهانات الأخرى
برهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد بس، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ← σ = 5.84، فنفس الحساب ينطي (5.84/0.027)² ≈ 47,000 دورة حتى الميزة توصل سيغما وحدة. اللي يراهن على الرقم الواحد يكدر يلعب سنين والميزة ما تنفرز عن الحظ بسجلاته هو، وهو ديدفع نفس النسبة بالضبط، 2.70%، اللي يدفعها اللي يراهن على الأحمر ويشوفها خلال أسابيع.
شنو يعني هالشي لاختبار أنظمة الرهان
أي واحد يدّعي إن فد نظام يشتغل لازم يكدر يثبت هالشي على 10,000 دورة أو أكثر بمتوسط موجب موثّق. على 1,000 دورة، المتوسط الموجب على الدفع المتساوي حدث يصير مرة من كل خمس مرات تحت فرضية العدم؛ وعلى 100 دورة تقريبًا مثل رمية عملة. المحاكيات بهالموقع تشغّل 2,000 جلسة بالطول اللي تختاره بثانية وحدة، وهذا دليل أكثر من أي شهادة شخصية.
الصيغة
أسئلة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← إنك ترجع رابح فد يوم ينزل باتجاه الصفر كلما تلعب. والمجموع ينحدر بلا حد.
لا. يعني التذبذبات اللي فاتت تصير جزء أصغر من عينة أكبر.
بالدفع المتساوي، تقريبًا 10,000 دورة قبل ما الميزة تبين بوضوح. وبرهانات الرقم الواحد، تقريبًا 50,000.
ونسة ويّا الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك أول شي. كل حل مطوي؛ افتحه لمّن تكون جاهز.
صديقين يلعبون 20 جولة من لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة ماكو بيها طرف عنده ميزة: القيمة المتوقعة لكل رهان صفر.اقرأ النص كله ←، رمي عملة أو الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمرة الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← ضد الأسودرهانالأسودرهان دفعه متساوي على الأرقام السودة الـ18. بالفرنسي: noir.اقرأ النص كله ← والرهانات ترجع على الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضرة الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. يسمّوه هم: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ←، ويسجّلون النتيجة أول بأول. عدّ الجولات اللي كل واحد منهم بيها متقدّم (التعادل ينحسب للي كان متقدّم قبله مباشرة). يا وحدة أرجح: إن التقدّم ينقسم 10 جولات مقابل 10، لو إن واحد منهم يبقى متقدّم بالجولات الـ20 كلها؟
طلّع الحل
الجواب إن واحد يبقى متقدّم بالجولات الـ20 كلها أرجح بهواية: 35.2%، إذا نحسب أي واحد من الصديقين، مقابل 6.1% لتقسيم متساوي 10 مقابل 10.
احتمال إن النتيجة بلعبة عادلة تكون متعادلة بعد 2k جولة هو u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 بعد 10 جولات و0.176 بعد 20. ونتيجة كلاسيكية، اسمها قانون قوس الجيب، تقول إن احتمال صديق معيّن يكون متقدّم بـ2k جولة بالضبط من 2n هو u(2k) × u(2n − 2k).
التقدّم بالجولات الـ20 كلها: u(20) × u(0) = 0.176 لكل صديق، و35.2% لأي واحد منهم. والتقسيم المتساوي: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%، وهو أقل تقسيم احتمالًا من الكل.
فبلعبة عادلة التقدّم قليل ما ينتقل من إيد لإيد. واللاعب اللي ظل متقدّم طول السهرة، أو متأخر طولها، ما شاف ولا شي غريب، وهذا ما يقول ولا شي عن العجلة ولا عن الشطارة. وإبستين (2013) ينطي نفس القانون للألعاب الأطول: بنص الحالات الطرف اللي حظه أحسن يبقى متقدّم بأكثر من 85% من اللعب.
استراحة فكاهية
المتوسط يتقارب. والمجموع بس يمشي ويروح.
المصادر
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.