مسألة: حدّ الطاولة
نظام مارتينغال برهان أساسي $10 على طاولة حدّها $500. كم مرة ينكسر، وشكد يخسر لمّن ينكسر، ورفع الحدّ يفيد لو لا؟
ست خسائر ورا بعض تكسره: 1.8% بكل حلقة، وتقريبًا 60% من جلسات الـ100 دورة. والانكسار يكلّف $630. رفع الحدّ لـ$5,000 يخلّي الانكسار أندر (0.25% بكل حلقة) وأكبر ($5,110). والخسارة المتوقعة لكل دولار تراهن بيه 2.70% بأي حدّ.
المسألة
لاعب يراهن بـ$10 على الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمرة الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← ويضاعف الرهان بعد كل خسارة، ويرجع للبداية بعد كل ربح. الحدّ الأقصى للطاولة $500. (a) كم خسارة ورا بعض تكسر التدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة تغيّر مبلغ الرهان حسب النتائج اللي فاتت. التدرّجات السلبية تصعّده بعد الخسارة، والإيجابية بعد الربح.اقرأ النص كله ←؟ (b) شنو الاحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← بكل حلقة؟ (c) شنو اللي ينخسر وقت الانكسار؟ (d) شلون حدّ $5,000 يغيّر الأجوبة؟ (e) أكو حدّ يخلّي النظام مربح؟
حلول (a)–(c)
مبالغ الرهان: 10، 20، 40، 80، 160، 320. والسابع راح يكون 640 > 500، فست خسائر تكسره. (b) p(الخسارة) = 19/37 على الأحمر؛ (19/37)⁶ = 0.0183، يعني تقريبًا 1.8% بكل حلقة. الحلقة تطول تقريبًا دورتين بالمعدل، فجلسة بيها 100 دورة بيها تقريبًا 50 حلقة، وp(انكسار واحد على الأقل) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، يعني 63 وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل بيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← أساسية، مقابل الـ$10 اللي كانت الحلقة دتحاول تربحها.
حل (d)
بحدّ $5,000: مبالغ الرهان لحد 2,560 مسموحة؛ أما الرهان العاشر، 5,120، فينرفض. تسع خسائر تكسره: (19/37)⁹ ≈ 0.25% بكل حلقة، يعني تقريبًا 11% من جلسات الـ100 دورة. الخسارة وقت الانكسار: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. اللاعب اشترى كارثة أندر بثمن كارثة أكبر. وعلى هواية جلسات التكلفة المتوقعة للانكسارات هي p × الخسارة ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 بكل حلقة بحدّ $500، و0.0025 × 5,110 = $12.8 بحدّ $5,000؛ الرقمين قريبين بس مو متساويين، وكل واحد منهم هو الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة ضرب المبلغ الكلي اللي راهنت بيه؛ يعني شكد تخسر بالمعدل بجلسة أو بفترة.اقرأ النص كله ← للحلقة زايد الـ$10 اللي تربحها الحلقات الرابحة.
حل (e)
لا. الخسارة المتوقعة بكل حلقة = (إجمالي مبلغ الرهان المتوقع بالحلقة) / 37، بأي حدّ، لأن كل رهان هو −1/37 من نفسه. والحدّ بس يقرر شلون تتوزع الخسارة بين هواية أرباح صغيرة وكم خسارة كبيرة. وبدون حدّ وويّا رأس مالالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكلي اللي تخصصه للعب. وإدارة رأس المال يعني تقرر شكد منه تخاطر بيه بكل رهان وبكل جلسة.اقرأ النص كله ← ما إله نهاية، التدرّج كان «راح يشتغل» بمعنى إنه أبد ما ينكسر، بس هم كان راح يراهن بمبلغ ما إله حد بخسارة متوقعة 2.70% من هذاك المبلغ اللي ما إله حد. مو حدّ الطاولةالطاولةحدّ الطاولةأقل وأكثر رهان مسموح. والحد الأقصى هو اللي يوقّف تدرّجات المضاعفة.اقرأ النص كله ← هو اللي يمنع نظام مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية حتى تعرف شنو يسوّي وشنو ما يسوّي.اقرأ النص كله ← من إنه يشتغل. الحساب هو اللي يمنعه.
طاولتان حقيقيتان
مثال ثورب طاولة حدّها الأدنى $1 وحدّها الأقصى $1,000، لاعب يتأمل يربح عليها $30 حق عشاه، دولار ورا دولار. مبالغ الرهان 1، 2، 4 … 512 تسمح بعشر رهانات، فعشر خسائر ورا بعض تكسر التدرّج: مرة كل 785 حلقة على العجلة الأوروبية (ومرة كل 613 على الأمريكية)، بكلفة $1,023. الثلاثين حلقة كلها تنجح بـ96.2% من الحالات. أما الـ3.8% الباقية فتخسر تقريبًا $1,000، ومتوسط نتيجة الأمسية −$9.17، وهذا بالضبط 1/37 من الـ$339 اللي تراهن بيها الثلاثين حلقة بالمعدل. وطاولة حدّها الأدنى $5 وحدّها الأقصى $2,000 ما تختلف: مبالغ الرهان لحد $1,280 تسمح بتسع رهانات، والانكسار يجي مرة كل 403 حلقة على العجلة الأوروبية (ومرة كل 323 على الأمريكية) ويكلّف $2,555.
لاعب ثري
نطي التدرّج رأس مال كبير بدال حدّ واطي: 1,000 وحدة، ورهان أساسي بوحدة وحدة، و1,000 دورة على الأحمر، وترجع لوحدة وحدة كل ما المضاعفة الجاية تكون أكبر من اللي باقي. إحنا حاكينا مليون أمسية من هالنوع. على العجلة الأوروبية 52% منها تخلص بربح، و21% تخسر كلشي، ومتوسط النتيجة −124 وحدة. وحتى بلعبة ماكو بيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرة الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. يسمّوه هم: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ←، وكل رهان بيها عادل، بس تقريبًا 60% راح تخلص بربح. الأمسية المعتادة ربح صغير؛ والمتوسط تدفع ثمنه الأمسيات اللي تخلص على الصفر.
الدرس
الكازينوهات تحط الحدود حتى تقيّد تباينهارياضياتالتباينمقياس لشكد النتائج منتشرة حوالين القيمة المتوقعة. عالي برهان الرقم الواحد، وواطي برهانات الدفع المتساوي.اقرأ النص كله ← هي، مو حتى تهزم أنظمة الرهان. هزيمة مارتينغال أثر جانبي هي فرحانة بيه، والحساب كان راح يهزمه بكل الأحوال. واللاعب اللي يظن الحدّ هو المشكلة لكه مكان الهاوية وظنّه المنحدر.
الصيغة
أسئلة
يخلّيك تصمد لحد حدّ أعلى، وهناك الانكسار يكون أندر وأكبر. والخسارة المتوقعة لكل دولار ما تتغير.
مبالغ الرهان 10، 30، 70، 150، 310: توصل لحدّ $500 بعد خمس خسائر، والانكسار يكلّف $570. ونفس النسبة، 2.70%.
حتى لاعب واحد ما يكدر يراهن بأكثر من اللي احتياطي الكازينو يكدر يدفعه براحة. هاي إدارة تباين.
ونسة ويّا الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك أول شي. كل حل مطوي؛ افتحه لمّن تكون جاهز.
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية حتى تعرف شنو يسوّي وشنو ما يسوّي.اقرأ النص كله ← يبدي بـ$100 على الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمرة الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← ويسمح لنفسه بـn رهان بالأكثر بكل حلقة: بعد n خسارة ورا بعض يستسلم ويبدي من جديد. اكتب متوسط نتيجة الحلقة الوحدة كصيغة بدلالة n، واحسبه لـ5 و6 و7 رهانات على عجلة أوروبية.
طلّع الحل
الجواب المتوسط هو 100 × (1 − (38/37)ⁿ)، يعني −$14.26 لـ5 رهانات، −$17.35 لـ6، −$20.52 لـ7. لمّن تسمح برهانات أكثر، متوسط الحلقة يصير أسوأ، مو أحسن.
الحلقة تربح $100 إلا إذا الرهانات الـn كلها خسرت، وهذا يصير باحتمال qⁿ، وq = 19/37. ولمّن كلها تخسر، مبالغ الرهان 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ مجموعها 100 × (2ⁿ − 1). يعني المتوسط هو 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
هنا 2q = 38/37، يعني أكثر من 1 بشوية، فـ(2q)ⁿ يكبر ويّا n والمتوسط ينزل: n = 5 ينطي 1.1426 يعني −$14.26؛ وn = 6 ينطي 1.1735 يعني −$17.35؛ وn = 7 ينطي 1.2052 يعني −$20.52. السلّم الأطول يخسر أقل، بـ3.6% و1.8% و0.9% من الحلقات، بس كل خسارة أكبر بمرتين، وفلوس أكثر تعبر الطاولة بكل حلقة، وعلى كل رهان 2.70%.
وعلى العجلة الأمريكية 2q = 40/38 والأرقام −$29.24، −$36.04، −$43.20 (تايلور، 2021). وبلعبة بدون صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرة الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. يسمّوه هم: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← 2q = 1، ومتوسط كل حلقة صفر بالضبط شكد ما طال السلّم.
«مارتينغال الكبير» يضاعف مبلغ الرهان بعد الخسارة ويزيد وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل بيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← وحدة، فمبالغ الرهان تمشي 1، 3، 7، 15، 31 … شكد تكون رابح لمّن أول ربح يجي بالرهان الأول، الثاني، الثالث، أو بالرهان رقم k؟ وبوحدة $10 وحدّ أقصى $500، كم مرة الحلقة تنكسر، وشكد تكلّف الحلقة بالمعدل؟
طلّع الحل
الجواب الربح بالرهان رقم k يخلّيك رابح k وحدات: +1، +2، +3 وهيج. وبوحدة $10 وحدّ $500 الحلقة تنكسر بعد خمس خسائر، بـ3.57% من الحلقات، بخسارة −$570. وبالمعدل الحلقة تخسر $2.32 من $85.73 راهنت بيها: 2.70%.
مبلغ الرهان رقم k هو 2ᵏ − 1 وحدة: 1، 3، 7، 15، 31. ومجموع مبالغ أول k − 1 رهانات هو 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. والربح بالرهان رقم k يدفع 2ᵏ − 1، فالحلقة تخلص رابحة (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k وحدة: وحدة زيادة عن كل خسارة قبل الربح.
بوحدة $10 مبالغ الرهان تصير $10 و$30 و$70 و$150 و$310؛ واللي بعده، $630، يعدّي الحدّ الأقصى $500. وخمس خسائر ورا بعض، (19/37)⁵ = 3.57%، تكلّف 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
المتوسط: الأرباح تجيب $10 × k باحتمال (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 لقيم k من 1 لحد 5، والانكسار ياخذ $570 باحتمال 3.57%؛ والمجموع −$2.32. ومتوسط المبلغ اللي تراهن بي $85.73 بالحلقة، و2.32/85.73 = 2.70%. أما مارتينغال العادي على نفس الطاولة فينكسر بعد ست خسائر، بـ1.83% من الحلقات، بخسارة −$630، ويخسر $1.74 من $64.20 راهنت بيها: 2.70% مرة ثانية.
لاعب يخطط يلعب مارتينغال على الأحمر برهان أول $1 على طاولة حدّها $1,000، يعني عشر رهانات ممكنة: $1 و$2 و$4 وهيج لحد $512. كم مرة الحلقة تخسر الرهانات العشرة كلها، شكد ياخذ هذا وقت بالمعدل، وكم مرة سهرة من 200 رهان تخلص هيج؟
طلّع الحل
الجواب الحلقة تخسر الرهانات العشرة كلها تقريبًا مرة وحدة من كل 784، وهذا يكلّف $1,023. يعني تقريبًا 1,600 رهان بالمعدل، وسهرة من 200 رهان تصطدم بالحايط بتقريبًا 11% من الحالات. وبرغم هذا الحلقة تخسر بالمعدل $0.31 من $11.31 راهنت بيها: 2.70%.
رهان الأحمر يخسر باحتمال 19/37، والصفر محسوب ويّاها. وعشر خسائر ورا بعض: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، يعني تقريبًا 1 من 784. ومبالغ الرهان 1 + 2 + 4 + … + 512 مجموعها $1,023.
الحلقة تاخذ 2.05 رهان بالمعدل، فـ784 حلقة تاخذ تقريبًا 1,600 رهان. وإذا تحسبها دورة دورة، سلسلة من عشر خسائر تطلع بفد مكان ضمن 200 رهان بـ11.3% من الحالات.
بين كارثة والثانية اللاعب يربح $1 بكل حلقة: تقريبًا $783 قبل الحلقة الخايبة، وبعدين −$1,023، يعني تقريبًا −$240 على طول الفترة كلها. وبكل حلقة: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. والفلوس اللي تراهن بيها بكل حلقة: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. والقسمة: −0.31/11.31 = −2.70%.
قارنها برهان أول $10 على حدّ $500، يعني ست رهانات: الحايط يجي مرة كل 55 حلقة، وسهرة من 200 رهان تصطدم بي بـ84% من الحالات. الحدّ الأعلى يخلّي الانهيار أندر وأكبر، مو أرخص.
استراحة فكاهية
أندر وأكبر، بكل حدّ. والحاصل ثابت.
المصادر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.