معيار كيلي والروليت
معيار كيلي يقول للمراهن اللي عنده ميزة شكد لازم يراهن. وبالروليت جوابه واضح: ولا شي.
مبلغ كيلي = الميزة / نسبة الدفع. ويّا ميزة سالبة الصيغة تطلّع نسبة سالبة، ومعناها: لا تراهن. ومع هذا المعيار بعده مفيد حتى تفهم ليش لاعبين الانحياز حدّدوا مبالغ رهاناتهم بهالشكل، وليش كل الباقين لازم يحددون مبالغهم حسب الميزانية.
المعيار
جون كيلي (1956) سأل: المقامر اللي عنده ميزة معروفة شلون لازم يحدد مبالغ رهاناته حتى يوصّل نمو رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكلي اللي تخصصه للعب. وإدارة رأس المال يعني تقرر شكد منه تخاطر بيه بكل رهان وبكل جلسة.اقرأ النص كله ← على المدى الطويل لأعلى حد؟ والجواب، لرهان يدفع b مقابل 1 باحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← ربح p واحتمال خسارة q = 1 − p، إنك تراهن بنسبة f* = (bp − q) / b من رأس المال. إذا f* موجبة راهن بهالنسبة؛ وإذا صفر أو سالبة لا تراهن. كيلي كان يشتغل بمختبرات بل، وبحثه «A new interpretation of information rate» (تفسير جديد لمعدل المعلومات) حط المسألة بإطار نظرية المعلومات مال كلود شانون: المقامر اللي توصله الإشارات على خط بيه تشويش، بنسب دفع عادلة، بأحسن الأحوال ما يكدر يكبّر رأس المال إلا بالمعدل اللي الخط ينقل بيه المعلومات. وبـ1961 ليو بريمان برهن إن رهان كيلي، على المدى الطويل، يخلص متقدّم على أي استراتيجية تختلف عنه جوهريًا، ويوصل لهدف محدد بأقصر وقت تقريبًا.
رهان كيلي في الروليت
للأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمرة الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ←: b = 1، p = 18/37، q = 19/37؛ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. لرهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد بس، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ←: b = 35، p = 1/37، q = 36/37؛ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. كل رهان قياسي ينطي نسبة كيلي سالبة، لأن كل رهان ميزته سالبة، والمبلغ الأمثل للنمو هو صفر. رهان كيلي بالروليت طريقة رسمية حتى تقول نفس الشي اللي تقوله صفحة ميزة الكازينو: ماكو مبلغ يخلّي رهان قيمته المتوقعة سالبة يكبّر رأس المال.
وين انطبق معيار كيلي فعلًا
لاعبين الانحياز كان عدهم ميزة ومشكلة بتحديد المبالغ. جاغر وعائلة غارسيا بيلايو واليودايمونيون، كلهم اضطروا يقررون شكد يراهنون على ميزتهم المقيسة؛ لأن الرهان بأقل من اللازم يضيّع الميزة، والرهان بأكثر من اللازم يخاطر بالإفلاس قبل ما الميزة تبين. لـخانةالمعداتالخانةوحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. يسمّوها هم: الفتحة، الكأس.اقرأ النص كله ← تصيب 1 من 30، معيار كيلي يقول 0.57% من رأس المال بكل دورة على هذاك الرقم: برأس مال $10,000، تقريبًا $57 بالدورة، لنمو نموذجي بحدود 0.054% بكل دورة، يعني ×1.7 خلال 1,000 دورة. ومتوسط الربح ضعف هالشي، 0.11% بالدورة، بس معيار كيلي يستهدف رأس المال النموذجي مو المتوسط، اللي تنفخه كم سلسلة محظوظة. ونص كيلي هو الاختيار العملي المعتاد لأن تقدير الميزة مو مضمون.
النموذجي والمتوسط
الفرق بين رأس المال النموذجي ورأس المال المتوسط كلش واسع. خذ خانة تطلع 1 من كل 25 مرة، يعني ميزة 44%، وهو الرقم اللي يذكره ثورب لجهازه. مبلغ كيلي عليها 1.26% من رأس المال. بعد 1,000 دورة رأس المال النموذجي يكون كبر تقريبًا 11.5 مرة، أما المتوسط، اللي ترفعه كم سلسلة محظوظة هواية، فكبر تقريبًا 249 مرة. والرهان بأكثر من مبلغ كيلي يرفع المتوسط وينزّل النتيجة النموذجية: بضعف مبلغ كيلي رأس المال النموذجي بس يتضاعف، وبمرتين ونص مبلغ كيلي يصغر، مع إن كل رهان بعده بيه ميزة 44%. أما الرهان بأقل منه فما يكلّف إلا شوية: نص المبلغ يحافظ على تقريبًا ثلاث أرباع النمو.
لمّن تكون الميزة تخمين
كيلي يفترض إن الميزة معروفة. بس على الطاولة الميزة تنقدّر، والتقدير عادةً أعلى من اللازم. مثال إبستين، المبني على نسبة الـ44% اللي يذكرها ثورب، رقم طلع 49 مرة بـ1,225 دورة على عجلة بصفرالعجلةالصفرالخانة الخضرة الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. يسمّوه هم: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← مزدوج: 1 من 25، يعني ميزة 44% ومبلغ كيلي 1.26%. بس العجلة النزيهة بصفر مزدوج بيها 38 رقم، والأكثر ظهور بيناتها يوصل 49 مرة أو أكثر بـ1,225 دورة تقريبًا مرة من كل تسع. والرقم الأكثر ظهور بأي سجل هو هم الرقم اللي الحظ ساعده أكثر من غيره، فحتى الخانة المنحازة صدك تبين بالسجل أحسن من حقيقتها: هاي لعنة الفائز. وإذا هاي الخانة بالحقيقة مو منحازة، فمبلغ كيلي مو إلا رهان يخسر 5.26% بالمعدل. والجوابين المعتادين: تراهن بجزء من مبلغ كيلي، وتظل تعد لحد ما الميزة تصمد بسجل جديد (شوف «شلون تكشف انحياز عجلة الروليت»).
أناس لديهم ميزة
إنك تعرف الميزة شي، وإنك تستعملها زين شي ثاني. هاغاني وديوي (2016) نطوا 61 شخص $25 لكل واحد حتى يراهنون نص ساعة على عملة قالولهم إنها تطلع صورة بـ60% من المرات، ويّا سقف للأرباح $250 (اللاعبين ما عرفوا بالسقف إلا لمّن وصلوله). معيار كيلي يقول تراهن بـ20% من رأس المال على الصورة كل مرة، والمؤلفين يقدّرون إن رهانات ثابتة بين 10 و20% كان راح توصل للسقف تقريبًا بـ95% من الحالات. بس 21% من اللاعبين وصلوله. و28% أفلسوا، و18 من الـ61 راهنوا بكلشي عدهم على رمية وحدة، وتقريبًا الثلث خلّصوا بأقل من الـ$25 اللي بدوا بيها، ومتوسط الدفعالمالالدفعاللي يرجّعه إلك الرهان الرابح، وينكتب بصيغة «X مقابل 1» فوق مبلغ الرهان اللي يرجعلك.اقرأ النص كله ← كان $91. وبس خمسة من الـ61 كانوا سامعين بمعيار كيلي. ويّا الميزة، حجم الرهانات يقرر إذا راح تحافظ عليها؛ وبدونها، مثل على عجلة نزيهة، ماكو حجم ينفع.
شنو يستعملون بداله
بدون ميزة، تحديد المبلغ مسألة ميزانية مو مسألة نمو: مبلغ الرهان = اللي إنت مستعد تصرفه بكل دورة، محسوب من ميزانية الساعة وسرعة الطاولة (صفحة إدارة رأس المال). والشي اللي يقدّمه معيار كيلي للاعب العادي هو وضوح جوابه: صفر. وكل شي تراهن بيه فوق الصفر هو ثمن اللعب، إنت تختاره، وماكو صيغة تحسّنه.
ملاحظة عن كيلي الجزئي و«إدارة الفلوس»
الأنظمة اللي تنباع على إنها «كيلي للروليت» وتنصح بنسبة ثابتة من رأس المال لكل رهان هي رهان ثابتاستراتيجيةالرهان الثابتتراهن بنفس المبلغ كل دورة. هذا الأساس اللي ينقارن بيه كل تدرّج.اقرأ النص كله ← بمبلغ يصغر. هاي تخسر 2.70% من إجمالي المراهناتالمالإجمالي المراهناتالمبلغ الكلي اللي تراهن بيه خلال جلسة أو فترة، ويّا الأرباح اللي رجعت تنراهن. يسمّوه هم: handle، action.اقرأ النص كله ←، ولأن المبلغ يصغر كلما تخسر، تخلّي الإفلاس بطيء مو بعيد. هاي طريقة معقولة حتى تطوّل عمر الميزانية؛ بس مو معيار كيلي، لأن كيلي كان راح يقلّك توقف.
الصيغة
أسئلة
بس إذا أكو ميزة مقيسة من عجلة منحازةالمختبرالعجلة المنحازةعجلة عيوبها المادية تخلّي بعض الخانات احتمالها أكبر من 1/37. نادرة، وما تنكشف إلا بآلاف الدورات المسجّلة.اقرأ النص كله ← أو من جهاز توقيت. على عجلة نزيهة لا.
لأن تقدير الميزة بيه غلط، والرهان بأكثر من اللازم يكلّف أكثر من الرهان بأقل منه. نص كيلي ينطي ثلاث أرباع النمو مقابل ربع التباينرياضياتالتباينمقياس لشكد النتائج منتشرة حوالين القيمة المتوقعة. عالي برهان الرقم الواحد، وواطي برهانات الدفع المتساوي.اقرأ النص كله ←.
لا. معيار كيلي يحسّن النمو لمّن تكون أكو ميزة. وإدارة رأس المال تضبط الصرف لمّن ماكو ميزة.
ونسة ويّا الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك أول شي. كل حل مطوي؛ افتحه لمّن تكون جاهز.
جهاز التنبؤ اللي سوّاه ثورب وشانون كان ينطي ميزة تقريبًا 44%. وعلى رقم واحد متنبّأ بي، معيار كيلي يقول راهن بـ1.26% من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكلي اللي تخصصه للعب. وإدارة رأس المال يعني تقرر شكد منه تخاطر بيه بكل رهان وبكل جلسة.اقرأ النص كله ←. طيب لو نفس الميزة، 44%، إجت على رهان واحد موزّع على خمس أرقام جنب بعض؟
طلّع الحل
الجواب وقتها كيلي يقول 7.1% من رأس المال، ورأس المال يكبر أسرع بتقريبًا ست مرات: تقريبًا 1.25 مليون ضعف على طول 1,000 رهان، مقابل تقريبًا 11.5 ضعف.
رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد بس، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ← بميزة 44% يربح باحتمال 0.04، لأن 36 × 0.04 = 1.44. ومبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الدفع: 0.44/35 = 1.26%. والنمو المعتاد بكل رهان هو 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244، فـ1,000 رهان تضرب رأس المال بتقريبًا e^2.44 ≈ 11.5.
وزّع مبلغ رهان واحد على خمس أرقام، والرهان يربح باحتمال 0.20 ويدفع 36/5 لكل 1، يعني 6.2 مقابل 1: الميزة بعدها 44%، لأن 0.2 × 7.2 = 1.44. ومبلغ كيلي يصير 0.44/6.2 = 7.10%، والنمو بكل رهان 0.01404، يعني تقريبًا 5.75 مرات أكثر. وعلى طول 1,000 رهان هذا يطلع e^14.04، يعني تقريبًا 1.25 مليون.
الميزة نفسها؛ بس الصعود والنزول أصغر. الرهان اللي يربح مرة من كل خمسة يكدر يشيل حصة أكبر من رأس المال بدون ما يخاطر بالإفلاس، ونمو كيلي يكافئ هذا. وثورب (1984) يستعمل هالمثال حتى يبيّن ليش لاعبين التنبؤ يراهنون على القطاعاتالعجلةالقطاعقوس متصل من الخانات على العجلة، مو مجموعة على لوحة الرهان.اقرأ النص كله ←. وبالواقع خمس جيرانرهانالجيرانرقم والخانتين اللي على كل صوب منه على العجلة، بخمس فيشات على أرقام مفردة.اقرأ النص كله ← ميزتهم أقل شوية من أحسن رقم لوحده (شوف اللعب بميزة).
لاعب حصّل خانتينالمعداتالخانةوحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. يسمّوها هم: الفتحة، الكأس.اقرأ النص كله ← جنب بعض، كل وحدة تطلع 1 من 25 بدال 1 من 37. يراهن على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين يم بعض، ويدفع 17:1.اقرأ النص كله ← بيناتهم بدفع 17 مقابل 1، لو على كل رقم برهان الرقم الواحد؟ شكد يقول كيلي، وشكد رأس المال يكبر بسرعة مقارنةً بخانة وحدة من هالنوع؟
طلّع الحل
الجواب ما يفرق: 2.59% من رأس المال على رهان الرقمين، أو 1.29% على كل رقم. ورأس المال المعتاد يكبر تقريبًا 155 مرة بـ1,000 دورة، مقابل 11.5 مرة ويّا خانة وحدة.
رهان الرقمين يربح، واحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← هذا 2/25 = 0.08، ويدفع 17 مقابل 1، فيرجّع 18 × 0.08 = 1.44 عن كل وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل بيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات حتى تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← راهنت بيها: ميزة 44%، مثل خانة منحازة وحدة. ومبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الدفع: 0.44/17 = 2.59%.
رهانين على الرقم الواحد كل واحد بـ1.29% ينطون نفس النتائج بالضبط. لمّن يطلع واحد من الرقمين، فيشةالمالالفيشةقطعة تمثّل مبلغ ثابت، تحطها على لوحة الرهان حتى تراهن. يسمّوها هم: check.اقرأ النص كله ← تربح 35 مقابل 1 والثانية تروح، والصافي 34 × 1.29% = 44% من رأس المال، مثل ما يدفع رهان الرقمين؛ ولمّن ولا واحد يطلع، الثنين يروحون.
النمو بكل دورة 0.00505، مقابل 0.00244 لخانة وحدة، فعلى طول 1,000 دورة رأس المال المعتاد يكبر e^5.046 ≈ 155 مرة بدال e^2.44 ≈ 11.5 مرة. فرقمين زينين يسوون هواية أكثر من ضعف رقم واحد، ولهذا لاعبين الانحياز يراهنون على مجموعات أرقام. وثورب (1984) يسوي نفس المقارنة.
استراحة فكاهية
المبلغ الأمثل للنمو بالروليت رقم الكل يعرفه من قبل.
المصادر
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”